Question

7．正四面体ABCD的棱长为4，E为棱AB的中点，过E作此正四面体的外接球的截面，则截面面积的最小值是（　　）

• A． 4π
• B． 8π
• C． 12π
• D． 16π

Answer 1

分析 根据题意，将四面体ABCD放置于如图所示的正方体中，则正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球．因此利用题中数据算出外接球半径R，当球心O到截面的距离最大时，截面圆的面积达最小值，再利用球的截面圆性质可算出截面面积的最小值．

解答 解：将四面体ABCD放置于正方体中，如图所示
可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球，
∵正四面体ABCD的棱长为4，∴正方体的棱长为2$\sqrt{2}$，
可得外接球半径R满足2R=2$\sqrt{2}$×$\sqrt{3}$，R=$\sqrt{6}$．
E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，当球心O到截面的距离最大时，截面圆的面积达最小值，
此时球心O到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为r=$\sqrt{{R}^{2}-2}=2$．
得到截面圆的面积最小值为S=πr²=4π．
故选：A．

点评 本题给出正四面体的外接球，求截面圆的面积最小值．着重考查了正方体的性质、球内接多面体和球的截面圆性质等知识，属于中档题．