Question

18．设a∈R，函数$f（x）=\frac{{{2^x}+a}}{{{2^x}+1}}$；
（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；
（2）若$f（x）＜\frac{a+2}{2}$对任意x∈R成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（x）在R上为奇函数，可得f（0）=0，解方程可得a的值，检验即可；
（2）由题意可得即为$\frac{{2}^{x}+a}{{2}^{x}+1}$＜$\frac{a+2}{2}$恒成立，等价为$\frac{a-1}{{2}^{x}+1}$＜$\frac{a}{2}$，即有2（a-1）＜a（2^x+1），讨论a=0，a＞0，a＜0，由参数分离，求得右边的范围，运用恒成立思想即可得到a的范围．

解答 解：（1）由f（x）的定义域为R，
且f（x）为奇函数，可得f（0）=0，
即有$\frac{1+a}{2}$=0，解得a=-1．
则f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-f（x），
则a=-1满足题意；
（2）$f（x）＜\frac{a+2}{2}$对任意x∈R成立，
即为$\frac{{2}^{x}+a}{{2}^{x}+1}$＜$\frac{a+2}{2}$恒成立，
等价为$\frac{a-1}{{2}^{x}+1}$＜$\frac{a}{2}$，
即有2（a-1）＜a（2^x+1），
当a=0时，-1＜0恒成立；
当a＞0时，$\frac{2（a-1）}{a}$＜2^x+1，
由2^x+1＞1，可得$\frac{2（a-1）}{a}$≤1，
解得0＜a≤2；
当a＜0时，$\frac{2（a-1）}{a}$＞2^x+1不恒成立．
综上可得，a的取值范围是[0，2]．

点评 本题考查函数的奇偶性的运用：求参数的值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论和参数分离的思想方法，考查运算能力，属于中档题．