Question

7．设函数f（x）=|x-2|+|x-a|，x∈R．
（Ⅰ）求证：当a=-1时，不等式lnf（x）＞1成立；
（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论x的范围，得到f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，从而证出结论即可；
（Ⅱ）求出f（x）的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）证明：当a=-1时，
$f（x）=|x-2|+|x+1|=\left\{{\begin{array}{l}{-2x+1，x≤-1}\\{3，-1＜x＜2}\\{2x-1，x≥2}\end{array}}\right.$，
故f（x）的最小值为3，
则lnf（x）的最小值为ln3＞lne=1，
所以lnf（x）＞1成立．
（Ⅱ）由绝对值不等式可得：
f（x）=|x-2|+|x-a|≥|（x-2）-（x-a）|=|a-2|，
再由不等式f（x）≥a在R上恒成立，
可得|a-2|≥a，解得a≤1，
故a的最大值为1．

点评 本题考查了求分段函数的最值问题，考查绝对值的性质，是一道中档题．