Question

给出下列命题：
（1）导数f′（x₀）=0是y=f（x）在x₀处取得极值的既不充分也不必要条件；
（2）若等比数列的n项s_n=2ⁿ+k，则必有k=-1；
（3）若x∈R⁺，则2^x+2^-x的最小值为2；
（4）函数y=f（x）在[a，b]上必定有最大值、最小值；
（5）平面内到定点（3，-1）的距离等于到定直线x+2y-1的距离的点的轨迹是抛物线．
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,函数的性质及应用,等差数列与等比数列,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）比如y=x³，y′=3x²，x=0不为极值点，由充分必要条件的定义，即可判断；
（2）求出a_n=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n＞1

，即可求出k；
（3）运用基本不等式，注意等号成立的条件，即可判断；
（4）比如常数函数在[a，b]上无最值，即可判断；
（5）注意运用抛物线的定义的隐含条件即定点不在定直线上，即可判断．

解答： 解：（1）由f'（x₀）=0 推不出极值点，因为有可能是拐点（说明不充分），
比如y=x³，y′=3x²，x=0不为极值点；f（x）在x=x₀处取得极值，
但函数f（x）在R上不一定可导，故不能推出f′（x₀）=0，
故导数f′（x₀）=0是y=f（x）在x₀处取得极值的既不充分也不必要条件，故（1）对；
（2）若等比数列的前n项和s_n=2ⁿ+k，则a₁=2+k，a_n=s_n-s_n-1=2ⁿ+k-（2^n-1+k）=2^n-1，
a₁=1，故k=-1，故（2）对；
（3）若x∈R⁺，则2^x+2^-x≥2

2x•2-x

=2，当且仅当2^x=2^-x=1，即x=0，取等号，
由于x＞0，故最小值取不到，故（3）错；
（4）比如常数函数在[a，b]上无最值，故（4）错；
（5）平面内到定点（3，-1）的距离等于到定直线x+2y-1=0的距离的点的轨迹是
过定点垂直于已知直线的一直线，而非抛物线，是因为定点在定直线上，故（5）错．
故答案为：（1）（2）

点评：本题主要考查导数与极值的关系、抛物线的定义，注意隐含条件，考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，考查等比数列的通项和求和，属于基础题．