Question

已知函数f（x）=cos²x+asinx．
（1）当a=2时，求函数f（x）的值域；
（2）若函数f（x）的最小值为-6，求实数a的值；
（3）若a∈R，求函数f（x）的最大值．

Answer 1

考点：三角函数的最值,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：（1）当a=2时，根据函数f（x）=-（sinx-1）²+2，-1≤sinx≤1，利用二次函数的性质求得函数的值域．
（2）若函数f（x）=-(sinx-

a

2

)2+

a2

4

+1 的最小值为-6，分当a≤0和a＞0两种情况，分别根据函数的最小值为-6，求得a的值，综合可得结论．
（3）由于f（x）=-(sinx-

a

2

)2+

a2

4

+1 的对称轴为x=

a

2

，再分对称轴在区间[-1，1]的左侧、中间、右侧三种情况，分别利用二次函数的性质求得函数的最大值．

解答： 解：（1）当a=2时，∵函数f（x）=cos²x+asinx=1-sin²x+2sinx+1=-（sinx-1）²+2，-1≤sinx≤1，
∴当sinx=1时，函数取得最大值为2，当sinx=-1时，函数取得最小值为-2，故函数的值域为[-2，2]．
（2）若函数f（x）=-sin²x+asinx+1=-(sinx-

a

2

)2+

a2

4

+1 的最小值为-6，
当a≤0时，由函数的最小值为-(-1-

a

2

)2+

a2

4

+1=-6，求得 a=-6．
当a＞0时，由函数的最小值为-(1-

a

2

)2+

a2

4

+1=-6，求得a=6．
综上可得，a=±6．
（3）由于f（x）=-(sinx-

a

2

)2+

a2

4

+1 的对称轴为x=

a

2

，
当

a

2

＜-1，即a＜-2时，函数f（x）的最大值为-(-1-

a

2

)2+

a2

4

+1=-a，
当-1≤

a

2

≤1，即-2≤a≤2时，函数f（x）的最大值为 

a2

4

+1，
当

a

2

＞2时，即a＞2时，-(1-

a

2

)2+

a2

4

+1=a．

点评：本题主要考查正弦函数的值域，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．