Question

【题目】已知函数（其中为常数且）在处取得极值.

（1）当时，求的单调区间；

（2）若在上的最大值为1，求的值.

Answer 1

【答案】(1) 的单调递增区间为和，单调递减区间为．

(2) 或.

【解析】试题分析：（1）由函数的解析式,可求出函数导函数的解析式,进而根据是的一个极值点,可构造关于的方程,根据,求出值；可得函数导函数的解析式，分析导函数值大于和小于时，的范围，可得函数的单调区间；（2）对函数求导，写出函数的导函数等于的的值，列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况，做出极值，把极值同端点处的值进行比较得到最大值，最后利用条件建立关于的方程求得结果.

试题解析：(1)因为，

所以.

因为函数在处取得极值，

所以.

当时，，，

随的变化情况如下表：

所以的单调递增区间为和，

单调递减区间为．

(2)，

令，解得.

因为在处取得极值，所.

当时，在上单调递增，在上单调递减．

所以在区间上的最大值为．

令，解得.

当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

所以最大值1在或处取得．

而，

所以，解得.

当时，在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．

所以最大值1在或处取得．

而，

所以，

解得，与矛盾．

当时，在区间上单调递增，在上单调递减，所以最大值1在处取得，而，矛盾．

综上所述，或.