【题目】已知函数有两个零点
,有一个极值点
.
(1)求实数a的取值范围;
(2)求证:.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】
(1)先求导,得,对参数
进行分类讨论,确定只有当
时,
有一个极值点
,
在
上单调递减,
上单调递增,故只需
,解出
即可
(2)由(1)可判断,
,可令
,则
,
,由
化简可得
,
,即
,最终需要通过构造函数
,求证
在
上
即可
解:(1)函数定义域为,
则
①若,则
仅一个零点,不符题意
②若,则
,
在
上单调递增,不可能有两个零点,也不符题意
③若,令
,即
得只能取一个零点
,当
,
,
,
所以在
上单调递减,
上单调递增,而要使
有两个零点,
要满足,即
; 且当
趋于0和正无穷时,
趋向正无穷
综上a的取值范围为.
(2)由题意及(1)可知,
.
法一:令,则
,
,
由,即:
而
即:由
,只需证:
令,则
令,则
故在
上递增,
故在
上递增,
∴
法二:构造函数
(易知等号取不到)
故,
在
上递减,
即:,则
而由,
,
在
上单调递增
故,得
另得
∴
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【题目】设分别是椭圆
的左、右焦点.
(1)若是该椭圆上的一个动点,求
的最大值和最小值;
(2)设过定点的直线
与椭圆交于不同的两点
,且
为锐角(其中
为坐标原点),求直线
的斜率的取值范围.
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【题目】如图,三棱锥P﹣ABC中,PC⊥平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一点,且CD⊥平面PAB.
(1)求证:AB⊥平面PCB;
(2)求二面角C﹣PA﹣B的大小的余弦值.
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【题目】采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号1,, ,1000,适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8,抽到的50人中,编号落入区间的人做问卷A,编号落入区间
的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为( )
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
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【题目】在股票市场上,投资者常根据股价每股的价格
走势图来操作,股民老张在研究某只股票时,发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点:每日股价
元
与时间
天
的关系在ABC段可近似地用函数
的图象从最高点A到最低点C的一段来描述
如图
,并且从C点到今天的D点在底部横盘整理,今天也出现了明显的底部结束信号.老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF段所示,且DEF段与ABC段关于直线l:
对称,点B,D的坐标分别是
.
请你帮老张确定a,
,
的值,并写出ABC段的函数解析式;
如果老张预测准确,且今天买入该只股票,那么买入多少天后股价至少是买入价的两倍?
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【题目】如右图,一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方
向滚动,M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么,当小圆这
样滚过大圆内壁的一周,点M,N在大圆内所绘出的图形大致是( )
A.B.
C.D.
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【题目】某小组有7个同学,其中4个同学从来没有参加过天文研究性学习活动,3个同学曾经参加过天文研究性学习活动.
(1)现从该小组中随机选2个同学参加天文研究性学习活动,求恰好选到1个曾经参加过天文研究性学习活动的同学的概率;
(2)若从该小组随机选2个同学参加天文研究性学习活动,则活动结束后,该小组有参加过天文研究性学习活动的同学个数是一个随机变量,求随机变量
的分布列和数学期望
.
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【题目】为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某城区对辖区内,
,
三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估,考评分数达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位,未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位.现通过分层抽样的方法获得了这三类行业的20个单位,其考评分数如下:
类行业:85,82,77,78,83,87;
类行业:76,67,80,85,79,81;
类行业:87,89,76,86,75,84,90,82.
(Ⅰ)计算该城区这三类行业中每类行业的单位个数;
(Ⅱ)若从抽取的类行业这6个单位中,再随机选取3个单位进行某项调查,求选出的这3个单位中既有“星级”环保单位,又有“非星级”环保单位的概率.
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【题目】已知p:x2≤5x-4,q:x2-(a+2)x+2a≤0.
(1)若p是真命题,求对应x的取值范围;
(2)若p是q的必要不充分条件,求a的取值范围.
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