Question

定义在D上的函数f(x)，如果满足：对于任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界.已知函数f(x)＝1＋a·()^x＋()^x；

(1)当a＝1时，求函数f(x)在(－∞，0)上的值域.并判断函数f(x)在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；

(2)若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围.

(3)试定义函数的下界，举一个下界为3的函数模型，并进行证明.

Answer 1

(1)当a＝1时，f(x)＝1＋()^x＋()^x＝[()^x＋]²＋，

∵f(x)在(－∞，0)上递减，所以f(x)＞f(0)＝3，

即f(x)在(－∞，0)的值域为(3，＋∞)，

故不存在常数M＞0，使|f(x)|≤M成立，

∴函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数.

(2)由题意，|f(x)|≤3在[0，＋∞)上恒成立.

－3≤f(x)≤3，－4－()^x≤a·()^x≤2－()^x，

∴－4·2^x－()^x≤a≤2·2^x－()^x

在[0，＋∞)上恒成立，

∴[－4·2^x－()^x]_max≤a≤[2·2^x－()^x]_min.

设2^x＝t，h(t)＝－4t－，p(t)＝2t－，

由x∈[0，＋∞)得t≥1，设1≤t₁＜t₂，

h(t₁)－h(t₂)＝＞0，

p(t₁)－p(t₂)＝＜0，

所以h(t)在[1，＋∞)上递减，p(t)在[1，＋∞)上递增，h(t)在[1，＋∞)上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在[1，＋∞)上的最小值为p(1)＝1，所以实数a的取值范围为[－5,1].

(3)定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f(x)|≥M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的下界

例如f(x)＝3，有|f(x)|≥3；

证明：∵x∈R，|f(x)|＝3≥3，

∴命题成立.