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    椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1以F1（-2，0）和F2（2，0）为焦点，离心率e=
    		2
    2
    ．
    （Ⅰ）求椭圆的方程；
    （Ⅱ）过作斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，∠AOB=90°，求弦AB的长；并求△AOB的面积．（其中O为坐标原点）
    分析：（Ⅰ）由设条件知
    c=2
    c
    a
    =
    		2
    2
    ，由此能导出椭圆的方程．
    （Ⅱ）设直线方程为y=x+b，联立方程组
    y=x+m
    x2
    8
    +
    y2
    4
    =1
    ，整理，得3x2+4bx+2b2-8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-
    4b
    3
    ，x1x2=
    2b2-8
    3
    ，由∠AOB=90°，知x1x2+y1y2=0，从而解得b=±
    4
    		3
    3
    ．直线方程为y=x±
    4
    		3
    3
    ，再由弦长公式|AB|=
    		(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
    和点到直线的距离公式能够求出弦长AB和△AOB的面积．
    解答：解：（Ⅰ）由题设条件知
    c=2
    c
    a
    =
    		2
    2
    ，
    ∴a2=8，b2=4，
    ∴椭圆的方程为
    x2
    8
    +
    y2
    4
    =1    ．
    （Ⅱ）设直线方程为y=x+b，联立方程组
    y=x+m
    x2
    8
    +
    y2
    4
    =1
    ，
    整理，得3x2+4bx+2b2-8=0，
    设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-
    4b
    3
    ，x1x2=
    2b2-8
    3
    ，
    ∵∠AOB=90°，∴OA2+OB2=AB2，
    ∴x1x2+y1y2=0，
    ∵y1y2=（x1+b）（x2+b）=x1x2+b（x1+x2）+b2，
    ∴2x1x2+b（x1+x2）+b2=0，
    ∴
    4b2-16
    3
    -
    4b2
    3
    +b2=0    ，解得b=±
    4
    		3
    3
    ．
    ∴直线方程为y=x±
    4
    		3
    3
    ．
    x1+x2=±
    16
    		3
    9
    ，x1x2=
    8
    9
    ，
    ∴|AB|=
    		(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

    =
    		2(
    768
    81
    -
    288
    81
    ) 
    =
    8
    		15
    9
    ．
    ∵O到直线y=x±
    4
    		3
    3
    的距离为d=
    |0-0±
    4
    		3
    3
    |
    		2
    =
    2
    		6
    3
    ，
    ∴△AOB的面积=
    1
    2
    ×
    8
    		15
    9
    ×
    2
    		6
    3
    =
    8
    		10
    9
    ．
    点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意弦长公式和点到直线的距离公式的合理运用．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b
    =1(a＞b＞0)    的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
    		2
    2
    ，右准线方程为x=2．
    （1）求椭圆的标准方程；
    （2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|
    F2M
    +
    F2N
    |=
    2
    		26
    3
    ，求直线l的方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b 
    =1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
    		3
    2
    ．
    （Ⅰ）求椭圆方程；
    （Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，求证：|AT|2=
    1
    2
    |AF1||AF2|    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b 
    =1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
    		3
    2
    ．
    （Ⅰ）求椭圆方程；
    （Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF1的中点，求证：∠ATM=∠AF1T．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设 A（x1，y1）、B（x2，y2）是椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）上的两点，O为坐标原点，向量
    m
    =(
    x1
    a
    ，
    y1
    b
    )，
    n
    =(
    x2
    a
    ，
    y2
    b
    )    且
    m
    •
    n
    =0    ．
    （1）若A点坐标为（a，0），求点B的坐标；
    （2）设
    OM
    =cosθ•
    OA
    +sinθ•
    OB
    ，证明点M在椭圆上；
    （3）若点P、Q为椭圆 上的两点，且
    PQ
    ∥
    OB
    ，试问：线段PQ能否被直线OA平分？若能平分，请加以证明；若不能平分，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源：四川 题型：解答题

    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b
    =1(a＞b＞0)    的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
    		2
    2
    ，右准线方程为x=2．
    （1）求椭圆的标准方程；
    （2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|
    F2M
    +
    F2N
    |=
    2
    		26
    3
    ，求直线l的方程．

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