Question

【题目】已知函数f（x）=是定义在R上的奇函数；

（1）求a、b的值，判断并证明函数y=f（x）在区间（1，+∞）上的单调性

（2）已知k＜0且不等式f（t2-2t+3）+f（k-1）＜0对任意的t∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）（-1，0）

【解析】

（1）根据奇函数的定义即可求出a、b的值，再根据增减性定义证明函数单调性即可

（2）根据奇函数的性质及函数的增减性原不等式可转化为t2-2t+3＞1-k对任意的t∈R恒成立，只需求出t2-2t+3的最小值即可.

（1）∵函数f（x）=是奇函数

∴由定义f（-x）==-，

∴a=b=0，

∴f（x）=，

y=f（x）在区间（1，+∞）上的单调递减．

证明如下：

∵f（x）=，∴，

∵x＞1，∴，

∴y=f（x）在区间（1，+∞）上的单调递减．

（2）由f（t2-2t+3）+f（k-1）＜0及f（x）为奇函数得：f（t2-2t+3）＜f（1-k）

因为t2-2t+3≥2，1-k＞1，且y=f（x）在区间（1，+∞）上的单调递减，

所以t2-2t+3＞1-k任意的t∈R恒成立，

因为t2-2t+3的最小值为2，所以2＞1-k，∴k＞-1

∵k＜0，∴-1＜k＜0．

∴实数k的取值范围是（-1，0）．