Question

已知不等式|a-2|≤x²+2y²+3z²对满足x+y+z=1的一切实数x，y，z都成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二维形式的柯西不等式

专题：选作题,不等式

分析：不等式|a-2|≤x²+2y²+3z²恒成立，只要|a-2||≤（x²+2y²+3z²）_min，利用柯西不等式求出x²+2y²+3z²的最小值，再解关于a的绝对值不等式即可．

解答： 解：因为已知x，y，z是实数，且x+y+z=1，
根据柯西不等式（a²+b²+c²）（x²+y²+z²）≥（ax+by+cz）²
故有（x²+2y²+3z²）（1+

1

2

+

1

3

）≥（x+y+z）²
故x²+2y²+3z²≥

6

11

，当且仅当x=

6

11

，y=

3

11

，z=

2

11

时取等号，
∵不等式|a-2|≤x²+2y²+3z²对满足x+y+z=1的一切实数x，y，z都成立，
∴|a-2|≤

6

11

，
∴

16

11

≤a≤

28

11

．

点评：本题主要考查了柯西不等式求解最值的应用及函数的恒成立与最值的相互转化关系的应用．