Question

已知函数f（x）=

1

2

ax²-（2a+1）x+2lnx．
（1）若a=

1

2

，求f（x）在[1，+∞）上的最小值；
（2）若a≠

1

2

，求函数f（x）的单调区间；
（3）已知函数h（x）=（

1

2

a-1）x²-x+（2a+2）lnx，若h（x）=f（x）有唯一解，求正数a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出导数，把a的值代入，找到单调区间，从而求出最小值，（2）分别讨论当a=0时a≠0时的情况，求出单调区间，（3）由题意得出方程组，解出即可．

解答： 解：（1）f′（x）=

(ax-1)(x-2)

x

，（x＞0），
当a=

1

2

时，f（x）=

1

4

x²-2x+2lnx，
∴f（x）=

(x-2)2

2x

≥0在[1，2]上恒成立，
∴f（x）在[1，2]上是增函数，
∴f（x）_min=f（1）=-

7

4

，
（2）当a=0时，f′（x）=

2-x

x

，
∴f（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，
a≠0时，令f′（x）=0，解得：x=

1

a

，x=2，
a＜0时，f（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，
0＜a＜

1

2

时，f（x）在（0，2），（

1

a

，+∞）递增，在（2，

1

a

）递减，
a＞

1

2

时，f（x）在（0，

1

a

），（2，+∞）递增，在（

1

a

，2）递减，
（3）记g （x）=f （x）-h （x）=x ²-2a lnx-2ax，
g′（x）=

2

x

（x²-ax-a），
若方程f（x）=h（x）有唯一解，即g（x）=0在（0，+∞）上有唯一解；
令g′（x）=0，得x²-ax-a=0．
∵a＞0，x＞0，
∴x₁=

a- a2+4a

2

＜0（舍去），x₂=

a+ a2+4a

2

．
当x∈（0，x₂）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）是单调递减函数；
当x∈（x₂，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）上是单调递增函数．
当x=x₂时，g′（x₂ ）=0，g（x）_min=g（x₂）．
因为g（x）=0有唯一解，所以g（x₂）=0．
则

g(x2)=0 g′(x2)=0

，即

x22-2alnx2-2ax2=0 x22-ax2-a=0

，
两式相减得2alnx₂+ax₂-a=0因为a＞0，
所以2lnx₂+x₂-1=0①，
设函数h（x）=2lnx+x-1，因为在x＞0时，h （x）是增函数，所以h （x）=0至多有一解．
因为h （1）=0，所以方程①的解为x₂=1，从而解得：a=

1

2

．

点评：本题考察了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，是一道综合题．