Question

若对任意的t∈R，关于x，y的方程组

2x+y-4=0 (x-t)2+(y-kt)2=16

都有两组不同的解，则实数k的值是

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：直线与圆

分析：根据直线和圆的位置关系，求出求出圆心到直线的距离，根据条件得到不等式解得即可．

解答： 解：∵方程组

2x+y-4=0 (x-t)2+(y-kt)2=16

都有两组不同的解，
∴直线2x+y-4=0和圆（x-t）²+（y-kt）²=16有两个交点，
∵：（x-t）²+（y-kt）²=16是一个以（t，kt）为圆心，4为半径的圆，
∴圆心（t，kt）到直线的距离小于4
∴圆心（t，kt）到直线的距离d=

|2t+kt-4|

22+12

＜4
∴|（2+k）t-4|＜4

5

∵对于任意t∈R，该不等式恒成立
∴t的系数为0，
即k+2=0，
∴k=-2，
故答案为：-2

点评：本题主要考查了直线和圆的位置关系，关键是求出圆心到直线的距离和半径的关系，属于中档题．