Question

以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[-M，M]．例如，当φ₁（x）=x³，φ₂（x）=sinx时，φ₁（x）∈A，φ₂（x）∈B．现有如下命题：
①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”?“?b∈R，?x∈R，f（a）=b”；
②若函数f（x）∈B，则f（x）有最大值和最小值；
③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B；
④若函数f（x）=

ax

x2+1

（a∈R），则f（x）∈B．
其中的真命题有

 

．（写出所有真命题的序号）．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利分类讨论④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论．

解答： 解：（1）对于命题①
“f（x）∈A”即函数f（x）值域为R，
“?b∈R，?a∈D，f（a）=b”表示的是函数可以在R中任意取值，
故有：设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“?b∈R，?a∈D，f（a）=b”
∴命题①是真命题；
   （2）对于命题②
若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[-M，M]．
∴-M≤f（x）≤M．例如：函数f（x）满足-2＜f（x）＜5，则有-5≤f（x）≤5，此时，f（x）无最大值，无最小值．
∴命题②“函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值．”是假命题；
   （3）对于命题③
若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，
则f（x）值域为R，f（x）∈（-∞，+∞），
并且存在一个正数M，使得-M≤g（x）≤M．
∴f（x）+g（x）∈R．
则f（x）+g（x）∉B．
∴命题③是真命题．
（4）对于命题④∵函数f（x）=

ax

x2+1

当x=0时，f（x）=0，
当x＞0时，x+

1

x

≥2，
∴0＜

1

x+ 1 x

≤

1

2

，
当a=0时，f（x）=0，
当a＞0时，0＜f（x）≤

a

2

，
当a＜0时，

a

2

≤f(x)＜0，
当x＜0时，x+

1

x

≤-2，
-

1

2

≤

1

x+ 1 x

＜0
当a=0时，f（x）=0，
当a＞0时，-

a

2

≤＜f（x）＜0，
当a＜0时，0＜＜f（x）≤-

a

2

，
综上所述即，f（x）∈B．
故命题④是真命题．
故答案为①③④．

点评：本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想．本题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题．