Question

已知全集U=R，集合A={x|（x-2）（x-3）＜0}，函数y=lg

x-(a2+2)

a-x

的定义域为集合B．
（1）若a=

1

2

时，求集合A∩（∁_UB）；
（2）命题P：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断,交、并、补集的混合运算,必要条件

专题：常规题型

分析：（1）将a=

1

2

带入原函数式，再求其定义域，然后进行交集、补集的运算便可．
（2）根据必要条件的定义，及原函数的定义域，便可建立对于a的限定的式子．

解答： 解：（1）a=

1

2

时原函数变成y=lg

x- 9 4

1 2 -x

，
解

x- 9 4

1 2 -x

＞0得B=（

1

2

，

9

4

），所以∁_UB=（-∞，

1

2

]∪[

9

4

，+∞），
所以A∩（∁_UB）=（2，3）∩（（-∞，

1

2

]∪[

9

4

，+∞））=[

9

4

，3）
（2）由题意得A=（2，3），解

x-(a2+2)

a-x

得B=（a²+2，a）∪（a，a²+2），根据必要条件的概念，由题意知A⊆B，所以

a2+2≤2 a≥3

或

a≤2 a2+2≥3

，
所以解得a的取值范围是：（-∞，-1]∪[1，2]．

点评：本题需掌握的几个知识点是：1．定义域的求法；2．交、并、补的运算；3．必要条件的概念；4．子集的概念．