Question

已知函数f（x）=sin2x-

3

cos2x+1
（1）求f（x）的周期和单调递增区间；
（2）若关于x的方程f（x）-m=2在x∈[

π

4

，

π

2

]上有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）化简可得f（x）=2sin（2x-

π

3

）+1，易得周期，由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

可得单调区间；（2）由x∈[

π

4

，

π

2

]可得f（x）∈[2，3]，可得（2+m）∈[2，3]，由不等式可得结论．

解答： 解：（1）化简可得f（x）=sin2x-

3

cos2x+1=2sin（2x-

π

3

）+1，
∴f（x）的周期T=

2π

2

=π，
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

可得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，
∴函数y=f（x）的单调递增区间为：[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]（k∈Z）；
（2）∵x∈[

π

4

，

π

2

]，∴2x-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[

1

2

，1]，∴f（x）∈[2，3]
∵关于x的方程f（x）-m=2在x∈[

π

4

，

π

2

]上有解，
∴（2+m）∈[2，3]，∴m∈[0，1]
∴实数m的取值范围为：[0，1]

点评：本题考查三角函数的恒等变换，涉及三角函数的周期性和值域，属基础题．