Question

已知点A（a，b）（其中a≠b）在矩阵M=

cosα -sinα sinα cosα

对应的变换作用下得到点A（-b，a）．
（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵M^-1；
（Ⅱ）求曲线C：（x-1）²+y²=1在矩阵M^-1所对应的变换作用下得到的曲线C′的方程．

Answer 1

考点：几种特殊的矩阵变换,二阶行列式与逆矩阵

专题：选作题,矩阵和变换

分析：（Ⅰ）根据二阶矩阵与平面列向量的乘法，确定矩阵M，再求矩阵的逆矩阵；
（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（x₀，y₀），根据矩阵变换的公式求出对应的点P′（x，y），解出由x、y表示x₀，y₀的式子，将点P的坐标代入曲线C方程，化简即得曲线C'的方程．

解答： 解：（Ι）∵点A（a，b）（其中a≠b）在矩阵M=

cosα -sinα sinα cosα

对应变换的作用下得到的点为B（-b，a），
∴

acosα-bsinα=-b  asinα+bcosα=a

得

cosα=0  sinα=1

      …（3分）
即M=

0 -1 1 0

，由M^-1M=

1 0 0 1

得M^-1=

0 1 -1 0

．…（4分）
（Ⅱ）设P（x₀，y₀）是曲线C：（x-1）²+y²=1上任意一点，
则点P（x₀，y₀）在矩阵M对应的变换下变为点P′（x，y）
则有

y0=y x0=-x

，
又∵点P在曲线C：（x-1）²+y²=1上，
∴（-x-1）²+y²=1，即曲线C'的方程为（x+1）²+y²=1．

点评：本题主要考查矩阵乘法、逆矩阵与变换，考查了曲线方程的求法等基本知识，考查运算求解能力．