Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

1+an

（n=1，2，3，…），
（1）计算a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）猜想a_n的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）利用数列递推式，代入计算可得结论；
（2）利用（1）的结论，猜想a_n的表达式，再用数学归纳法证明．

解答： 解：（1）∵a₁=1，a_n+1=

an

1+an

，
∴a₂=

a1

1+a1

=

1

2

，a₃=

a2

1+a2

=

1

3

，a₄=

a3

1+a3

=

1

4

．             …3分
（2）由（1）可以猜想a_n=

1

n

．                                    …4分
用数学归纳法证明：
ⅰ）当n=1时，a₁=

1

1

=1，所以当n=1时猜想成立．             …5分
ⅱ）假设当n=k（k∈N^*）时猜想成立，即a_k=

1

k

，
当n=k+1时，a_k+1=

ak

1+ak

=

1 k

1+ 1 k

=

1

k+1

所以当n=k+1时猜想也成立．
由ⅰ）和ⅱ）可知，猜想对任意的n∈N^*都成立．                   
所以a_n=

1

n

．…8分

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．