Question

已知数列{a_n}满足：a₁=

3

2

，a_n+1=a_n²-a_n+1，设S=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2008

，求S的整数部分．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件得

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

，所以S=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2008

=

1

a1-1

-

1

a2009-1

，由a₁=

3

2

，得0＜

1

a2009-1

＜1，S=

1

a1-1

-

1

a2009-1

=2-

1

a2009-1

，由此能求出S的整数部分是1．

解答： 解：∵a_n+1=a_n²-a_n+1，
∴a_n+1-1=a_n（a_n-1），

1

an+1-1

=

1

an(an+1)

=

1

an-1

-

1

an

，
∴

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

，
S=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2008

=

1

a1-1

-

1

a2-1

+

1

a2-1

-

1

a3-1

+…+

1

a2008-1

-

1

a2009-1

=

1

a1-1

-

1

a2009-1

，
∵a₁=

3

2

，∴

1

a1-1

=

1

3 2 -1

=2，
a_n+1-a_n=a_n²-2a_n+1=（a_n-1）²≥0，
∴{a_n}是个单调增数列，
a₂=a₁²-a₁+1=

7

4

，
a₃=a₂²-a₂+1=

37

16

，

1

a3-1

＜1，
∴0＜

1

a2009-1

＜1，
S=

1

a1-1

-

1

a2009-1

=2-

1

a2009-1

，
1＜S＜2，∴[S]=1．
∴S的整数部分是1．

点评：本题考查数列的前2008项和的整数部分的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．