Question

设函数f（x）=|2x+1|-|x-2|．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）已知关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）把要解的不等式转化为与之等价的3个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）由题意可得，a+1＜f_min（x），而由（1）可得f_min（x）=f（-

1

2

），从而求得a的范围．

解答： 解：（1）等式f（x）＞0即|2x+1|-|x-2|＞0，
∴

x＜- 1 2 -2x-1-(2-x)＞0

①，或

- 1 2 ≤x＜2 2x+1-(2-x)＞0

，
或

x≥2 2x+1-(x-2)＞0

．
解①求得 x＜-3，解②求得

1

3

＜x＜2，解③求得x≥2，
故不等式的解集为（-∞，-3）∪（

1

3

，+∞）．
（2）由题意可得，a+1＜f_min（x），而由（1）可得f_min（x）=f（-

1

2

）=-

5

2

，
∴a+1＜-

5

2

，解得a＜-

7

2

．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，函数的恒成立问题，属于基础题．