Question

设等差数列{a_n}，已知a₅=-3，S₁₀=-40
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{abn}为等比数列，且b₁=5，b₂=8，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的首项为a₁、公差为d，依题意a₅=-3，S₁₀=-40，可求得a₁=5，d=-2，于是可得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由题意可求得等比数列{abn}的通项公式abn=（-3）×3^n-1=-3ⁿ，又abn=7-2b_n，于是可得b_n=

7

2

+

3n

2

，再分组求和即可．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的首项为a₁、公差为d，
∵a₅=-3，S₁₀=-40，
∴

a1+4d=-3 10a1+ 10×9 2 d=-40

解得：a₁=5，d=-2．
∴a_n=7-2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a_n=7-2n，又数列{abn}为等比数列，且b₁=5，b₂=8，
∴q=

ab2

ab1

=

a8

a5

=

7-2×8

7-2×5

=3，
又ab1=a₅=7-2×5=-3，
∴abn=（-3）×3^n-1=-3ⁿ，又abn=7-2b_n，
∴7-2b_n=-3ⁿ，
∴b_n=

7

2

+

3n

2

，
∴数列{b_n}的前n项和
T_n=b₁+b₂+…+b_n=

7n

2

+

1

2

（3+3²+…+3ⁿ）
=

7n

2

+

1

2

•

3(1-3n)

1-3

=

7n

2

+

3n+1-3

4

．

点评：本题考查等差数列与等比数列的通项公式的确定，考查等价转化思想与综合应用能力，（Ⅱ）中求得b_n=

7

2

+

3n

2

是关键，属于难题．