Question

点F₁，F₂是椭圆C的

x2

4

+

y2

3

=1左右焦点，过点F₁且不与x轴垂直的直线交椭圆于P，Q两点．
（1）若PF₂⊥QF₂，求此时直线PQ的斜率k；
（2）左准线l上是否存在点A，使得△PQA为正三角形？若存在，求出点A，不存在说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设直线PQ为y=k（x+1），联立椭圆方程

x2

4

+

y2

3

=1，得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出PF₂⊥QF₂时直线PQ的斜率k．
（2）记PQ的中点为M，要使得PQA为正三角形，当且仅当点A在PQ的垂直平分线上，且|MA|=

3

2

|PQ|，由此推导出

3

2

＞1，所以左准线l上不存在点A，使得△PQA为正三角形．

解答： 解：（1）设直线PQ为y=k（x+1），
联立椭圆方程

x2

4

+

y2

3

=1，
得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
设点P（x₁，kx₁+k），Q（x₂，kx₂+k），
则有x1+x2=-

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

，
又PF₂⊥QF₂，得

PF2

•

QF2

=0，
即有(k2-1)(x1+x2)+(k2+1)x1x2+k2+1=0，
整理得7k2=9，k=±

3 7

7

（2）记PQ的中点为M，要使得PQA为正三角形，
当且仅当点A在PQ的垂直平分线上，
且|MA|=

3

2

|PQ|，
作MM₁⊥l于M₁，则

3

2

|PQ|＞|MM1|，
根据第二定义，得|MM1|=

|PQ|

2e

=|PQ|，
则有

3

2

＞1，显然不成立，
故左准线l上不存在点A，使得△PQA为正三角形．

点评：本题考查直线斜率的求法，考查左准线上是否存在使得三角形为正三角形的点的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．