Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，其图象上相邻的两个对称轴之间的距离为π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若sinα-f（α）=

2

3

，求

2 sin(2α- π 4 )+1

1+tanα

的值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由周期求得ω=1，根据函数f（x）为偶函数，求得φ=

π

2

，从而求得f（x）的解析式．
（2）由sinα-f（α）=

2

3

，求得 2sinαcosα=

5

9

，再利用两角差的正弦公式、二倍角公式化简要求的式子为2sinαcosα，从而得出结论．

解答： 解：（1）由题意函数图象上相邻的两个对称轴之间的距离为π，可得函数的周期为2π=

2π

ω

，求得ω=1．
再根据函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，可得φ=kπ+

π

2

，k∈z，
∴φ=

π

2

，f（x）=sin（x+

π

2

）=cosx．
（2）∵sinα-f（α）=

2

3

，即 sinα-cosα=

2

3

．
平方可得 2sinαcosα=

5

9

，
∴

2 sin(2α- π 4 )+1

1+tanα

=

2 sin2αcos π 4 - 2 cos2αsin π 4 +1

cosα+sinα cosα

=

cosα(2sinαcosα+2sin2α)

cosα+sinα

=2sinαcosα=

5

9

．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式、二倍角公式，属于基础题．