Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，BC=

2

，BB₁=2，AC₁与A₁C交于一点P，延长B₁B到D，使得BD=AB，连接DC，DA，得到如图所示几何体．
（Ⅰ）若AB=1，求证：BP∥平面ACD，
（Ⅱ）若直线CA₁与平面BCC₁B₁所成的角为30°，求二面角D-AC-C₁的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）取AC的中点E，连接PE，DE，证明四边形DBPE为平行四边形，从而BP∥平面ACD；
（Ⅱ）轴建立空间直角坐标系，用向量法解决．空间直角坐标系

解答： （Ⅰ）证明：取AC的中点E，连接PE，DE…1分
则PE

∥

.

1

2

CC1，∵BD=AB=1，BB₁=2，∴BD=

1

2

BB₁=

1

2

CC₁，又∵BD∥CC₁，∴BD

∥

.

1

2

CC₁，∴PE

∥

.

BD，∴四边形DBPE为平行四边形，∴BP∥DE，…3分
∵BP?面ACD，DE?面ACD，…4分
∴BP∥平面ACD，…5分
（Ⅱ）解：由题意知，AB⊥BC，AB⊥BB₁，∴AB⊥面BC₁，∴A₁B₁⊥面BC₁连接B₁C，则∠A₁CB₁为直线CA₁与平面BCC₁B₁所成的角，则∠A₁CB₁=30°，…6分
在Rt△A₁B₁C中，B₁C=

4+2

=

6

，tanA₁CB₁

A1B1

B1C

=

A1B1

6

=

3

3

．∴A₁B₁=

2

…7分
以B为原点，分别以BC，BB₁，AA₁为x、y、z轴建立如图所示的
空间直角坐标系，则A（0，0，

2

），C（

2

，0，0），D（0，-

2

，0），
∴

AC

=（

2

，0，-

2

），

AD

=（0，-

2

，-

2

），…8分
设面ACD的法向量为

n1

=（x，y，z），则

2 x- 2 z=0 - 2 y- 2 z=0

即

x=z y=-z

，取z=1，则

n1

=（1，-1，1）…9分
在平面ABC内取面AC₁的一个法向量

n2

=（x，0，z），则

n2

•

AC

=

2

x-

2

z=0，取x=1，则z=1，∴

n2

=（1，0，1）…10分
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

2

3 • 2

=

6

3

，…11分
由图知二面角D-AC-C₁为钝角，二面角D-AC-C₁的余弦值为-

6

3

…12分

点评：本题考查线面平行，考查面面角，考查向量知识的运用，解题的关键是正确建立坐标系，属于中档题．