Question

如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于点D，且DC=2AD=2，E为PC上一点，PE：EC=1：2，
（Ⅰ）求证：DE∥平面PAB；
（Ⅱ）求证：平面PDB⊥平面ABC；
（Ⅲ） 若PD=2，AB=

3

，∠ABC=60°，求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：计算题,空间向量及应用

分析：（Ⅰ）利用线段成比例，直线平行；
（Ⅱ）PD⊥平面ABC，从而平面PAC⊥平面ABC；（Ⅲ）判断底面△ABC为直角三角形，或用余弦定理得AC长，求得△ABC的面积，从而由三棱锥体积公式得到答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵

PE

EC

=

AD

DC

=2 ， ∴DE∥PA，…（2分）∵DE?平面PAB，PA?平面PAB，∴DE∥平面PAB；…（3分）
（Ⅱ）因为平面PAC⊥平面ABC，
且平面PAC∩平面ABC=AC，PD?平面PAC，PD⊥AC，
所以PD⊥平面ABC，…（6分）
又PD?平面PDB，
所以平面PDB⊥平面ABC．…（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知PD⊥平面ABC． 
法一：△ABC中，AB=

3

，∠ABC=60°，AC=3，
由正弦定理

AB

sin∠ACB

=

AC

sin∠ABC

，得sin∠ACB=

1

2

，
因为AC＞AB，所以∠ACB＜∠ABC，则∠ACB=

π

6

，因此∠CAB=

π

2

，…（8分）
△ABC的面积S△ABC=

1

2

AC•AB=

1

2

•3•

3

=

3 3

2

．       …（10分）
所以三棱锥P-ABC的体积VP-ABC=

1

3

×S△ABC×PD=

3

．   …（12分）
法二：△ABC中，AB=

3

，∠ABC=60°AC=3，由余弦定理得：AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos60°，
所以BC²-

3

BC-6=0，
所以BC=2

3

或-

3

（舍去）．                    …（8分）
△ABC的面积S△ABC=

1

2

AB•BC•sin60°=

1

2

•

3

•2

3

•

3

2

=

3 3

2

．  …（10分）
所以三棱锥P-ABC的体积VP-ABC=

1

3

×S△ABC×PD=

3

．       …（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥体积的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．