Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，AC与BD交于点O，PA=3，AD=2，AB=2

3

，BC=6．
（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求直线PO与平面PAB所成的角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）在Rt△ABC中，利用已知可得∠BAC=60°，同理可得∠ABD=30°，进而得到BD⊥AC，利用侧面垂直的性质可得PA⊥BD，利用线面垂直的判定定理即可得出；
（Ⅱ）过O作OE⊥AB交AB于E，则OE⊥平面PAB，所以∠OPE是直线PO与平面PAB所成的角，求出OE，PO，即可求直线PO与平面PAB所成的角的正弦值．

解答： （Ⅰ） 证明：因为AD∥BC，AB⊥AD，AD=2，AB=2

3

，
所以tan∠ABD=

3

3

即∠ABD=30°．
又在直角△ABC中，tan∠BAC=

3

，所以∠BAC=

π

3

．
所以BD⊥AC
又因为PA⊥平面ABCD，所以BD⊥PA．
所以BD⊥平面PAC；…（7分）
（Ⅱ）解：过O作OE⊥AB交AB于E，则OE⊥平面PAB，所以∠OPE是直线PO与平面PAB所成的角…（11分）
又在直角△ABO中，∠BAC=

π

3

，AB=2

3

，则OE=

3

2

，AO=

3

．
又在直角△PAO中，AO=

3

，AP=3，所以PO=2

3

．
所以sin∠OPE=

3

4

．
所以直线PO与平面PAB所成的角的正弦值为

3

4

．…（14分）

点评：本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面所成角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力．