Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=120°，AD=AB=1，AC交BD于O点．
（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（2）求三棱锥D-ABP和三棱锥B-PCD的体积之比．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）先证PA⊥面ABCD，得到平面PBD⊥平面PAC．（2）在求两三棱锥体积时，进行相应转化，V_D-ABP=V_P-ABD，V_B-PCD=V_P-BCD．

解答： 解：（1）∵∠ABC=∠ADC=90°，AD=AB，AC为公共边，∴Rt△ABC≌Rt△ADC，则BO=DO，又在△ABD中，AB=AD，∴△ABD为等腰三角形，∴AC⊥BD，∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD，又BD?面PBD，平面PBD⊥平面PAC．
（2）在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，BC=

3

，∵S_△ABC=

1

2

AB•ADsin120°=

1

2

×1×1×

3

2

=

3

4

，S_△BCD=

1

2

BC•CDsin60°=

1

2

×

3

×

3

×

3

2

=

3 3

4

，∴

VD-ABP

VB-PCD

=

VP-ABD

VP-BCD

=

1 3 S△ABD•PA

1 3 S△BCD•PA

=

S△ABD

S△BCD

=

1

3

，

点评：本题重点考查了空间面面垂直的判定及三棱锥体积公式，要根据体积将问题转化是关键，属于中档题．