Question

已知函数y=-3x²-12x+1，x∈（-∞，-2），判断该函数的单调性并证明．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：①根据函数y=f（x）是二次函数，对称轴是x=-2，得出f（x）在x∈（-∞，-2）时是增函数；
②利用函数的单调性定义证明f（x）在x∈（-∞，-2）时是增函数即可．

解答： 解：①函数y=f（x）=-3x²-12x+1是二次函数，图象是抛物线，且开口向下，对称轴是x=-2；
在对称轴的右侧，函数f（x）是增函数；
∴函数f（x）在x∈（-∞，-2）时是增函数；
②证明：任取x₁、x₂∈（-∞，-2），且x₁＜x₂；
∴f（x₁）-f（x₂）=（-3x12-12x₁+1）-（-3x22-12x₂+1）=3（x₂-x₁）（x₁+x₂+4）；
∵x₁＜x₂＜-2，∴x₂-x₁＞0，x₁+x₂+4＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴函数y=f（x）在x∈（-∞，-2）时是增函数．

点评：本题考查了二次函数的单调性及其证明问题，解题时应根据二次函数的图象与性质判断其单调性，再利用函数的单调性进行证明，是基础题．