Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2AC=4，延长CB至D，使CB=BD．
（I）求证：直线C₁B∥平面AB₁D；
（Ⅱ）求平面AB₁D平面ACB所成角的正弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连结C₁B，由已知条件推导出四边形C₁BDB₁是平行四边形，由此能证明直线C₁B∥平面AB₁D．
（Ⅱ）以A为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AB₁D与平面ACB所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：连结C₁B，则C₁B₁=CB=DB，又C₁B₁∥BD，
所以，四边形C₁BDB₁是平行四边形，…（4分）
所以，C₁B∥B₁D，又B₁D?平面AB₁D，
所以，直线C₁B∥平面AB₁D．…（7分）
（Ⅱ）在△ACD中，由于CB=BD=BA，
所以，∠DAC=90°，
以A为原点，建立如图空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B₁（

3

，1，4），D（2

3

，0，0）

AD

=(2

3

，0，0)，

AB1

=(

3

，1，4)…（10分）
设平面AB₁D的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • AD =2 3 x=0 n • AB1 = 3 x+y+4z=0

，
所以

x=0 y=-4z

取z=1，则

n

=（0，-4，1）…（12分）
取平面ACB的法向量为

m

=（0，0，1）
则cos＜

n

，

m

＞=

1

17

，所以sin＜

n

，

m

＞

4 17

17

，
所以，平面AB₁D与平面ACB所成角的正弦值为

4 17

17

．…（14分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．