Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，点F为侧棱PC上一点．
（1）若PF=FC，求证：PA∥平面BDF；
（2）若BF⊥PC，求证：平面BDF⊥平面PBC．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）连接AC，BD与AC交于点O，连接OF，由三角形中位线定理可得OF∥PA，再由线面平行的判定定理，即可得到PA∥平面BDF；
（2）由已知中PA⊥平面ABCD，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，我们可证得BD⊥PA，AC⊥BD．由线面垂直的判定定理可得BD⊥平面PAC．再由面面垂直的判定定理得到平面BDF⊥平面PBC．

解答： 证明：（1）设AC，BD的交点为O，连OF，
∵底面ABCD为菱形，∴O为AC中点，
又PF=FC，∴PA∥OF，…（5分）
且PA?平面BDF，OF?平面BDF，
∴PA∥平面BDF．…（7分）
（2）∵底面ABCD为菱形，∴BD⊥AC，
∵PA⊥底面ABCD，∴BD⊥PA，∴BD⊥平面PAC，
∴BD⊥PC，
∵BF⊥PC，∴PC⊥平面BDF，
又PC?平面PBC，∴平面BDF⊥平面PBC．…（14分）

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，其中（I）的关键是证得OF∥PA，（II）的关键是熟练掌握空间中线线垂直，线面垂直及面面垂直之间的相互转化．