Question

如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，AD上，AE=AF=4，现将△AEF沿线段EF折起到△A′EF位置，使得A′C=2

6

．
（1）求五棱锥A′-BCDFE的体积；
（2）在线段A′C上是否存在一点M，使得BM∥平面A′EF？若存在，求A′M；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）连接AC，设AC∩EF=H，由已知条件推导出平面A′HC⊥平面ABCD，过点A′作A′O垂直HC且与HC相交于点O，则A′O⊥平面ABCD，由此能求出五棱锥A′-BCDFE的体积．
（2）线段A′C上存在一点M，使得BM∥平面A′EF，A′M=

6

2

．证明平面MBD∥平面A′EF，即可得出结论．

解答： 解：（1）连接AC，设AC∩EF=H，
由ABCD是正方形，AE=AF=4，得H是EF的中点，
且EF⊥AH，EF⊥CH，
从而有A′H⊥EF，CH⊥EF，
∴EF⊥平面A′HC，
从而平面A′HC⊥平面ABCD，…（2分）
过点A′作A′O垂直HC且与HC相交于点O，则A′O⊥平面ABCD．…（4分）
∵正方形ABCD的边长为6，AE=AF=4，
得到：A′H=2

2

，CH=4

2

，
∴cos∠A′HC=

8+32-24

2×2 2 ×4 2

=

1

2

，
∴HO=A′H•cos∠A′HC=

2

，A′O=

6

，
∴五棱锥A′-BCDFE的体积V=

1

3

×（6²-

1

2

×4×4）×

6

=

28 6

3

；…（6分）
（2）线段A′C上存在一点M，使得BM∥平面A′EF，A′M=

6

2

．…（7分）
证明：∵A′M=

6

2

=

1

4

A′C，HO=

1

4

HC，
∴OM∥A′H，
∴OM∥平面A′EF，…（9分）
又BD∥EF，
∴BD∥平面A′EF，…（10分）
∴平面MBD∥平面A′EF，…（11分）
由BM在平面MBD内，∴BM∥平面A′EF．…（12分）

点评：本题考查五棱锥的体积的求法，考查线面平行，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．