Question

如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F 分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l．
（Ⅰ）求证：直线l⊥平面PAC；
（Ⅱ）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）利用三角形中位线定理推导出BC∥面EFA，从而得到BC∥l，再由已知条件推导出BC⊥面PAC，由此证明l⊥面PAC．
（2）以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线l上存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余，|AQ|=1．

解答： （Ⅰ）证明：∵E，F分别是PB，PC的中点，∴BC∥EF，
又EF?平面EFA，BC不包含于平面EFA，
∴BC∥面EFA，
又BC?面ABC，面EFA∩面ABC=l，
∴BC∥l，
又BC⊥AC，面PAC∩面ABC=AC，
面PAC⊥面ABC，∴BC⊥面PAC，
∴l⊥面PAC．
（2）解：以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，
过C垂直于面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
A（2，0，0），B（0，4，0），P（1，0，

3

），
E（

1

2

，0，

3

2

），F（

1

2

，2，

3

2

），

AE

=(-

3

2

，0，

3

2

)，

EF

=(0，2，0)，
设Q（2，y，0），面AEF的法向量为

m

=(x，y，z)，
则

AE • m =- 3 2 x+ 3 2 z=0 EF • m =2y=0

，
取z=

3

，得

m

=(1，0，

3

)，

PQ

=(1，y，-

3

)，
|cos＜

PQ

，

EF

＞|=|

2y

2 4+y2

|=

|y|

4+y2

，
|cos＜

PQ

，

m

＞|=|

1-3

2 4+y2

|=

1

4+y2

，
依题意，得|cos＜

PQ

，

EF

＞|=|cos＜

PQ

，

m

＞|，
∴y=±1．
∴直线l上存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余，|AQ|=1．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．