Question

如图，在四棱锥A-BCDE中，AE⊥平面BCDE，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AC=6

3

，BC=CD=6．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACE；
（Ⅱ）设点G在棱AC上，且CG=2GA，试求三棱锥E-GCD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）证明BD⊥平面ACE，只需证明AE⊥BD，BD⊥CE；
（Ⅱ）过G作GH∥AE交EC于H，证明GH⊥平面DEC，即可求三棱锥E-GCD的体积．

解答： （I）证明：由AE⊥平面BCDE得AE⊥BD，
又∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，
∴∠EBC=∠BCD=∠CDE=90°，
∴四边形BCDE为平行四边形，
∵BC=CD，∴四边形BCDE为正方形，
∴BD⊥CE
又AE?平面ACE，CE?平面ACE，AE∩CE=E
故BD⊥平面ACE，…6分
（Ⅱ）解：过G作GH∥AE交EC于H，…7分
∵CG=2GA，∴GH=

2

3

AE，
∵AE⊥平面BCDE，∴GH⊥平面DEC，AE⊥EC…9分
在直角三角形AEC中，CE=6

2

，AC=6

3

，得AE=6，∴GH=

2

3

AE=4
∴三棱锥E-GCD的体积VG-ECD=

1

3

×

1

2

×6×6×4=24…12分．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，考查三棱锥E-GCD的体积，正确运用直线与平面垂直的判定定理是关键．