Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的一个焦点为F（2，0），且离心率为

6

3

．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）过点M（3，0）且斜率为k的直线与椭圆交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为C，求△MBC面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由题意知c=2，

c

a

=

6

3

，a²=b²+c²，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）直线l的方程为y=k（x-3）．联立方程组

y=k(x-3) x2 6 + y2 2 =1.

，得（3k²+1）x²-18k²x+27k²-6=0．由韦达定理结合已知条件推导出S_△MBC=|S_△ABC-S_△AMC|=|y₁|（3-x₂）=|k|（3-x₁）（3-x₂）≤

3

2

，由此能求出△MBC面积S的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的一个焦点为F（2，0），且离心率为

6

3

．
∴c=2，

c

a

=

6

3

，a²=b²+c²，
解得a²=6，b²=2．
故椭圆方程为

x2

6

+

y2

2

=1． 
（Ⅱ）直线l的方程为y=k（x-3）．
联立方程组

y=k(x-3) x2 6 + y2 2 =1.

，消去y并整理，
得（3k²+1）x²-18k²x+27k²-6=0． （*）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
故x1+x2=

18k2

3k2+1

，x1x2=

27k2-6

3k2+1

．
不妨设x₁＜x₂，显然x₁，x₂均小于3．
则S△AMC=

1

2

•|2y1|•(3-x1)=|y1|(3-x1)，
S△ABC=

1

2

•|2y1|•(x2-x1)=|y1|(x2-x1)．
S_△MBC=|S_△ABC-S_△AMC|=|y₁|（3-x₂）=|k|（3-x₁）（3-x₂）
=|k|[9-3(x1+x2)+x1x2]=

3|k|

3k2+1

≤

3|k|

2 3k2

=

3

2

．
等号成立时，解得k2=

1

3

，此时方程（*）为 2x²-6x+3=0，满足△＞0．
所以△MBC面积S的最大值为

3

2

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．