Question

设函数f（x）=|x+1|+|x-5|，x∈R．
（1）求不等式f（x）＜x+10的解集；
（2）如果关于x的不等式f（x）≥a-（x-2）²在R上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：带绝对值的函数

专题：不等式

分析：（1）去掉绝对值，化简f（x），求出不等式f（x）＜x+10的解集；
（2）设g（x）=a-（x-2）²，求出g（x）_max与f（x）_min；由f（x）≥g（x）在R上恒成立，得f（x）_min≥g（x）_max，求出a的取值范围．

解答： 解：（1）去掉绝对值，f(x)=

-2x+4， x＜-1 6， -1≤x＜5 2x-4， x≥5

；
当x＜-1时，由-2x+4≤x+10，解得x≥-2，∴-2≤x＜-1；
当-1≤x＜5时，由6≤x+10，解得x≥-4，∴-1≤x＜5；
当x≥5时，由2x-4≤x+10，解得x≤14，∴5≤x≤14；
综上，不等式的解集为[-2，14]；---（5分）
（2）设g（x）=a-（x-2）²，则g（x）_max=g（2）=a，
而f（x）=|x+1|+|x-5|≥|（x+1）-（x-5）|=6，即f（x）_min=6；
∴f（x）≥g（x）在R上恒成立时，应满足f（x）_min≥g（x）_max，
∴a≤6；即a的取值范围是{a|a≤6}．---（10分）

点评：本题考查了含有绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了函数恒成立问题，解题时应根据题意，化含有绝对值的函数为分段函数，是中档题．