Question

若函数f（x）=

x

ax+b

（a≠0），f（2）=1，又方程f（x）=x有唯一解，且a₁=1，a_n+1=f（a_n），S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_n-1•a_n，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，S_n≤M都成立，则M的最小值为

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：

分析：所给函数含参数a，b，所以要想着是不是得求出a，b，再看接下来的条件，便可通过条件“f（2）=1“和“方程f（x）=x有唯一解“解出a，b，从而求出f（x）．接下来，看能否确定a_n和s_n，确定s_n之后，求出s_n的最大值即可．

解答： 解：由f（2）=1得：

2

2a+b

=1 （1）
由f（x）=x得：

x

ax+b

=x，将该式化成(

ax+b-1

ax+b

)x=0，解得x=0或x=

1-b

a

，又方程f（x）=x有唯一解，所以

1-b

a

=0，所以b=1，再带入（1）式得a=

1

2

，所以f（x）=

x

1 2 x+1

；所以由a_n+1=f（a_n）得：an+1=

an

1 2 an+1

，所以

1

an+1

=

1

2

+

1

an

，所以，

1

an+1

-

1

an

=

1

2

，所以数列{

1

an

}是等差数列，公差d=

1

2

，所以

1

an

=a1+(n-1)•

1

2

=

n+1

2

，所以an=

2

n+1

，所以sn=

2

1+1

•

2

2+1

+

2

2+1

•

2

3+1

+…+

2

(n-1)+1

•

2

n+1

=4（

1

2

•

1

3

+

1

3

•

1

4

+…+

1

n

•

1

n+1

），因为：

1

n

•

1

n+1

=

1

n

-

1

n+1

，所以sn=4[(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=4（

1

2

-

1

n+1

），所以对于任意的n∈N，都有s_n

点评：给一个含参数的函数式，要想着是否得求出参数，根据条件能否求出参数，这是需要思考的．给一个数列，要考虑怎样确定数列通项，对于本题，求出通项就要考虑确定s_n了．