Question

已知椭圆T：

x 2

a 2

+

y 2

b 2

=1（a＞b＞0）．
（Ⅰ）若椭圆T的离心率为

5

3

，过焦点且垂直于z轴的直线被椭圆截得弦长为

8

3

．
①求椭圆方程；
②过点P（2，1）的两条直线分别与椭圆F交于点A，C和B，D，若AB∥CD，求直线AB的斜率；
（Ⅱ）设P（x₀，y₀）为椭圆T内一定点（不在坐标轴上），过点P的两条直线分别与椭圆T交于点A，C和B，D，且AB∥CD，类比（Ⅰ）②直接写出直线T的斜率．（不必证明）

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）①由已知条件稚导出

2b2 a = 8 3 a2-b2 a2 = 5 9

，由此能求出椭圆Г的方程．
②设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，

AP

=λ

PC

．则2-x₁=λ（x₃-2），1-y₁=λ（y₃-1），故x3=

2(1+λ)-x1

λ

，y3=

(1+λ)-y1

λ

，由此入手能求出直线AB的斜率．
（Ⅱ）归纳总结（Ⅰ）②的规律，类比（Ⅰ）②能够直接写出直线T的斜率．

解答： 解：（Ⅰ）①∵椭圆T：

x 2

a 2

+

y 2

b 2

=1（a＞b＞0），
椭圆T的离心率为

5

3

，过焦点且垂直于z轴的直线被椭圆截得弦长为

8

3

，
∴

2b2 a = 8 3 a2-b2 a2 = 5 9

，解得

a=3 b=2

，…（2分）
∴椭圆Г的方程为

x2

9

+

y2

4

=1．…（3分）
②设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，

AP

=λ

PC

．
则2-x₁=λ（x₃-2），1-y₁=λ（y₃-1），
故x3=

2(1+λ)-x1

λ

，y3=

(1+λ)-y1

λ

．…（5分）
∵点C在椭圆上，∴

x 2 3

9

+

y 2 3

4

=1，
则

[2(1+λ)-x1]2

9λ2

+

[(1+λ)-y1]2

4λ2

=1
整理得 (1+λ)2(

4

9

+

1

4

)-2(1+λ)(

2x1

9

+

y1

4

)+

x 2 1

9

+

y 2 1

4

=λ²…（6分）
由点A在椭圆上知

x 2 1

9

+

y 2 1

4

=1，
故(1+λ)2(

4

9

+

1

4

)-2(1+λ)(

2x1

9

+

y1

4

)=λ2-1．①…（7分）
又AB∥CD，则

BP

=λ

PD

．
同理可得 (1+λ)2(

4

9

+

1

4

)-2(1+λ)(

2x2

9

+

y2

4

)=λ2-1．②…（8分）
①-②得 

2

9

(x2-x1)+

1

4

(y2-y1)=0．
由题意可知x₁≠x₂，则直线AB的斜率为k=

y2-y1

x2-x1

=-

8

9

．…（10分）
（Ⅱ）直线AB的斜率为-

b2x0

a2y0

．…（13分）

点评：本题考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力，解题时要认真审题，注意椭圆简单性质的灵活运用．