Question

已知函数f（x）=x²-2x-8，g（x）=（x+1）（x-a），（a为常数）．
（1）求不等式g（x）＜0的解集；
（2）若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x-m-15成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据二次函数以及一元二次不等式的性质即可求不等式g（x）＜0的解集；
（2）若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x-m-15成立，利用基本不等式的性质即可求实数m的取值范围．

解答： 解：（1）∵g（x）=（x+1）（x-a），
∴g（x）＜0，即（x+1）（x-a）＜0，
对应方程（x+1）（x-a）=0的根为x=a或x=-1，
若a=-1，则不等式无解，
若a＞-1，则（x+1）（x-a）＜0的解为-1＜x＜a，
若a＜-1，则（x+1）（x-a）＜0的解为a＜x＜-1，
综上：当a=-1，则不等式的解集为空集，
当a＞-1，则不等式的解集为（-1，a），
若a＜-1，则不等式的解集为（a，-1）；
（2）若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x-m-15成立，
即x²-4x+7≥（m-1）x，
即m-1≤

x2-4x+7

x

=x+

7

x

-4，
设h（x）=x+

7

x

-7，则h（x）在（2，

7

）上单调递减，在（

7

，+∞）上单调递增，
则h（x）的最小值为h（

7

）=

7

+

7

7

-4=2

7

-4，
则m-1≤2

7

-4，
即m≤2

7

-3，
则实数m的取值范围是m≤2

7

-3．

点评：本题主要考查不等式的解法以及不等式恒成立问题，利用基本不等式是解决本题的关键．