Question

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是DD₁的中点．
（Ⅰ）求证：BD₁∥平面AMC；
（Ⅱ）求证：AC⊥BD₁；
（Ⅲ）在线段BB₁上是否存在点P，当

BP

BB1

=λ时，平面A₁PC₁∥平面AMC？若存在，求出λ的值并证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：平面与平面平行的性质,空间中直线与直线之间的位置关系,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连结BD交AC于N，连结MN．由此利用三角形中位线定理能证明BD₁∥平面AMC．
（Ⅱ）由正方形性质得AC⊥BD，由线面垂直得DD₁⊥AC，由此能证明AC⊥BD₁．
（Ⅲ）当λ=

1

2

，平面A₁PC₁∥平面AMC．由已知条件推导出四边形ABQM是平行四边形，从而能证明平面A₁PC₁∥平面AMC．

解答： （本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，连结BD交AC于N，连结MN．
因为ABCD为正方形，所以N为BD中点．…（1分）
在△DBD₁中，因为M为DD₁中点，
所以BD₁∥MN．…（2分）
因为MN?平面AMC，BD₁不包含于平面AMC，…（4分）
所以BD₁∥平面AMC．…（5分）
（Ⅱ）证明因为ABCD为正方形，
所以AC⊥BD．…（6分）
因为DD₁⊥平面ABCD，
所以DD₁⊥AC．…（7分）
因为DD₁∩BD=D，…（8分）
所以AC⊥平面BDD₁．…（9分）
因为BD₁?平面BDD₁，
所以AC⊥BD₁．…（10分）
（Ⅲ）解：当λ=

1

2

，即点P为线段BB₁的中点时，平面A₁PC₁∥平面AMC．…（11分）
因为AA₁∥CC₁，且AA₁=CC₁，
所以四边形AA₁C₁C是平行四边形．
所以AC∥A₁C₁．…（12分）
取CC₁的中点Q，连结MQ，QB．
因为M为DD₁中点，
所以MQ∥AB，且MQ=AB，
所以四边形ABQM是平行四边形．
所以BQ∥AM．…（13分）
同理BQ∥C₁P．
所以AM∥C₁P．
因为A₁C₁∩C₁P=C₁，AC∩AM=A，
所以平面A₁PC₁∥平面AMC．…（14分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查异面直线垂直的证明，考查满足平面与平面平行的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．