Question

定义在R上的函数f（x）不是常数函数，且满足对任意的x有f（x-1）=f（x+1），f（2-x）=f（x），下列5个结论：
①f（x）是单调函数，
②f（x）的图象关于x=1对称，
③f（x）是周期函数，
④f（x）是偶函数，
⑤f（x）有最大值和最小值．
其中真命题是（　　）

• A、②③④
• B、②③⑤
• C、①②⑤
• D、①②③

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：f（x+1）=f（x-1），令x-1=t，则f（t+2）=f（t），所以函数周期为2．由f（2-x）=f（x），知f（-x）=f[2-（2+x）]=f（2+x），所以f（-x）=f（x），函数为偶函数．由f（-x）=f（2+x），知f（x）的图象关于x=1对称．函数时增时减，故f（x）不是单调函数；f（x）没有最大值和最小值．

解答： 解：∵f（x+1）=f（x-1），
令x-1=t，则f（t+2）=f（t），
所以函数周期为2．
∵f（2-x）=f（x），
∴f（-x）=f[2-（2+x）]=f（2+x），
∵函数周期为2，
∴f（x+2）=f（x），
∴f（-x）=f（x），函数为偶函数．
∴f（-x）=f（2+x），
∴f（x）的图象关于x=1对称．
∵函数时增时减，
∴f（x）不是单调函数；
∴f（x）没有最大值和最小值．
其中真命题是②③④．
故选：A．

点评：本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，属于基础题．