Question

已知曲线C₁：

x= 1 2 cosα y=3sinα

（α为参数），曲线C₂：ρsin（θ+

π

4

）=

2

，将C₁的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的

1

3

得到曲线C₃．
（Ⅰ）求曲线C₃的普通方程，曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点P为曲线C₃上的任意一点，Q为曲线C₂上的任意一点，求线段|PQ|的最小值，并求此时的P的坐标．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）通过变换求出曲线C₃的参数方程然后求解它的普通方程，利用极坐标与直角坐标的关系，直接求解曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）点P为曲线C₃上的任意一点，Q为曲线C₂上的任意一点，线段|PQ|的最小值，转化为圆的圆心到直线的距离减去半径，利用直线的垂直关系，即可并求此时的P的坐标．

解答： （本题满分10分）
解：（Ⅰ）曲线C₁：

x= 1 2 cosα y=3sinα

（α为参数），将C₁的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的

1

3

得到曲线C₃．

x=cosα y=sinα

，∴曲线C₃：x²+y²=1，
曲线C₂：ρsin（θ+

π

4

）=

2

，即

2

2

ρsinθ+

2

2

ρcosθ=

2

，
∴曲线C₂：x+y=2-----------（5分）
（II）设P（cosα，sinα），则线段|PQ|的最小值为点P到直线x+y=2的距离．
转化为圆的想到直线的距离减去半径，
∴|PQ|min=

|0+0-2|

1+1

-1=

2

-1，
直线x+y=2的斜率为-1，所以QP的斜率为1，P在x²+y²=1上，
所以p(

2

2

，

2

2

)-----------（10分）

点评：本题考查直线的参数方程以及极坐标方程的应用点到直线的距离公式的应用，考查转化思想以及计算能力．