Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n（n+1），
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n
（2）数列{b_n}的通项公式b_n=

1

an•an+2

，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）当n≥2时，由a_n=S_n-S_n-1=2n，再求得n=1时a₁的值，检验是否满足n≥2时的关系式，从而可得数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）利用裂项法可得b_n=

1

8

（

1

n

-

1

n+2

），从而可得数列{b_n}的前n项和为T_n．

解答： 解：（1）n=1时，S₁=a₁=2…（1分），
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n（n+1）-（n-1）n=2n…（3分）
经检验n=1时成立，…（4分）
综上 a_n=2n…（5分）
（2）由（1）可知bn=

1

2n•2(n+2)

=

1

4

×

1

n•(n+2)

=

1

8

(

1

n

-

1

n+2

)…（7分）
T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=

1

8

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

)…（9分）
=

1

8

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

1

8

(

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)…（12分）

点评：本题考查数列的求和，着重考查裂项法的应用，（2）中求得b_n=

1

8

（

1

n

-

1

n+2

）是关键，属于中档题．