Question

已知函数f（x）=axlnx，（a≠0）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a＜0时，若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜3ax+1成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数的导数，令f′（x）=0，解得x=

1

e

．讨论①当a＞0时②当a＜0时的情况，从而分别求出其单调区间，
（Ⅱ）当a＜0时，对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜3ax+1成立，设g（x）=axlnx-3ax-1，通过求导得出g（x）_min=g（e²）=-ae²-1，从而a＞-

1

e2

．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x的定义域为（0，+∞）．
因为f′（x）=a（lnx+1），
令f′（x）=0，解得x=

1

e

．
①当a＞0时，随着x变化时，f（x）和f′（x）的变化情况如下：

x	（0， 1 e ）	1 e	（ 1 e ，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘		↗

即函数f（x）在（0，

1

e

）上单调递减，在（

1

e

，+∞）上单调递增．
②当a＜0时，随着x变化时，f（x）和f′（x）的变化情况如下：

x	（0， 1 e ）	1 e	（ 1 e ，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↗		↘

即函数f（x）在（0，

1

e

）上单调递增，在（

1

e

，+∞）上单调递减．
（Ⅱ）当a＜0时，对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜3ax+1成立，
axlnx＜3ax+1．
所以axlnx-3ax-1＜0．
设g（x）=axlnx-3ax-1．
因为g′x）=a（lnx-2），
令g′（x）=0，解得x=e²．
因为a＜0，
所以随着x变化时，g（x）和g′（x）的变化情况如下：

x	（0，e2）	e2	（e2，+∞）
g′（x）	+	0	-
g（x）	↗		↘

即函数g（x）在（0，e²）上单调递增，在（e²，+∞）上单调递减．
所以g（x）_min=g（e²）=-ae²-1．
所以-ae²-1＜0．
所以a＞-

1

e2

．
所以a的取值范围为（-

1

e2

，0）．
法二：
当a＜0时，对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜3ax+1成立，
即axlnx＜3ax+1．
所以a（xlnx-3x）＜1．
即

1

a

＜xlnx-3x．
设g（x）=xlnx-3x．
因为g′（x）=lnx-2，
令g′（x）=0，解得x=e²．
所以随着x变化时，g（x）和g′（x）的变化情况如下：

x	（0，e2）	e2	（e2，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）	↘		↗

即函数g（x）在（0，e²）上单调递减，在（e²，+∞）上单调递增．
所以g（x）_min=g（e²）=-e²．
所以

1

a

＜-e²．
所以a＞-

1

e2

．
所以a的取值范围为（-

1

e2

，0）．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，参数的范围，是一道综合题．