Question

在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C₁：

x=2+ 3 5 t y= 4 5 t

（0＜a＜1为参数）和曲线C₂：ρsin²θ=2cosθ相交于A、B两点，设线段AB的中点为M，则点M的直角坐标为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,参数方程化成普通方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出曲线C₂：ρsin²θ=2cosθ的普通方程，代入直线的普通方程，利用韦达定理求出x₁+x₂的值，然后求解M的坐标．

解答： 解：曲线C₂：ρsin²θ=2cosθ的普通方程为：y²=2x，
曲线C₁：

x=2+ 3 5 t y= 4 5 t

（0＜a＜1为参数）的普通方程为：4x-3y-8=0，和曲线C₂：y²=2x相交于A、B两点，
则：

4x-3y-8=0 y2=2x

，可得8x²-41x+32=0，x₁+x₂=

41

8

，

x1+x2

2

=

41

16

，

y1+y2

2

=

2(x1+x2)

3

-

8

3

=

3

4

线段AB的中点为M（

41

16

，

3

4

），
故答案为：(

41

16

，

3

4

)．

点评：本题考查极坐标，直线的参数方程的应用，直线与圆锥曲线的位置关系．