Question

2．已知f（x）是定义在R上且周期为4的函数，在区间[-2，2]上，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}mx+2，-2≤x＜0\\ \frac{nx-2}{x+1}，0≤x≤2\end{array}\right.$，其中m，n∈R，若f（1）=f（3），则$\frac{1}{4}\int_{-1}^3{（mx+n}）dx$=8．

Answer 1

分析 由函数的周期性可得f（-2）=f（2），f（1）=f（-1），可得m和n的方程组，解方程组求解定积分可得．

解答 解：∵f（x）是定义在R上且周期为4的函数，在区间[-2，2]上
有$f（x）=\left\{\begin{array}{l}mx+2，-2≤x＜0\\ \frac{nx-2}{x+1}，0≤x≤2\end{array}\right.$，且f（1）=f（3），
∴f（-2）=f（2），f（1）=f（3）=f（-1），
∴-2m+2=$\frac{2n-2}{3}$，$\frac{n-2}{2}$=-m+2，
联立解得m=-2，n=10，
∴$\frac{1}{4}\int_{-1}^3{（mx+n}）dx$=$\frac{1}{4}$•（$\frac{1}{2}$mx²+nx）${|}_{-1}^{3}$=m+n=8
故答案为：8

点评 本题考查定积分的求解，涉及分段函数以及函数的周期性，属中档题．