Question

12．过点A（0，2）与抛物线C：y²=4x恰有一个交点的直线有（　　）条．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 过点A（0，2）与抛物线C：y²=4x恰有一个交点，则方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$只有一解，分两种情况讨论即可：（1）当该直线存在斜率时；（2）该直线不存在斜率时．

解答 解：（1）当过点A（0，2）的直线存在斜率时，设其方程为：y=kx+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消y得k²x²+（4k-4）x+4=0，
①若k=0，方程为-x+1=0，解得x=1，此时直线与抛物线只有一个交点（1，2）；
②若k≠0，令△=（4k-4）²-16k²=0，解得k=$\frac{1}{2}$，此时直线与抛物线相切，只有一个交点；
（2）当过点A（0，2）的直线不存在斜率时，该直线方程为x=0，与抛物线相切只有一个交点；
综上，过点A（0，2）与抛物线y²=4x恰有一个交点的直线有3条．
故选D．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系与分类讨论思想，解决基本方法是：（1）代数法，转化为方程组解的个数问题；（2）几何法，数形结合．