Question

3．如图，正方形ABCD的边长为3，M为DC的中点，若N为正方形内任意一点（含边界），则$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$的最大值为$\frac{27}{2}$．

Answer 1

分析 以A为坐标原点，以AB方向为x轴正方向，以AD方向为y轴方向建立坐标系，将向量的数量积用坐标表示，再利用线性规划方法解决问题．

解答 解：以A为坐标原点，以AB方向为x轴正方向，以AD方向为y轴方向建立坐标系，
则A=（0，0），M（$\frac{3}{2}$，3），
则$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{3}{2}$，3），
设N点坐标为（x，y），则$\overrightarrow{AN}$=（x，y），$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤3}\\{0≤y≤3}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=$\frac{3}{2}$x+3y，
设z=$\frac{3}{2}$x+3y，平移目标函数，则过点（3，3）时有最大值，此时最大值$\frac{27}{2}$，
故答案为：$\frac{27}{2}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，向量的主要功能就是数形结合，将几何问题转化为代数问题，但关键是建立合适的坐标系，将向量用坐标表示，再将数量积运算转化为方程或函数问题