Question

1．已知函数f（x）=|x-a|-|x+3|，a∈R．
（1）当a=-1时，解不等式f（x）≤1；
（2）不等式f（x）≤4在x∈[-2，3]时恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a=-1代入f（x），通过讨论x的范围，得到不等式组，解出即可；
（2）问题转化为-7≤a≤2x+7在x∈[-2，3]时恒成立，而2x+7在x∈[-2，3]的最小值是3，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）a=-1时，f（x）=|x+1|-|x+3|≤1，
?$\left\{\begin{array}{l}{x≤-3}\\{-x-1+x+3≤1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-3＜x＜-1}\\{-x-1-x-3≤1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≥-1}\\{x+1-x-3≤1}\end{array}\right.$，
解得：x≤-1；
（2）∵x∈[-2，3]，
∴x+3＞0，
∴不等式f（x）≤4在x∈[-2，3]时恒成立，
?|x-a|≤x+7在x∈[-2，3]时恒成立，
?-（x+7）≤x-a≤x+7在x∈[-2，3]时恒成立，
?-x-7-x≤-a≤7在x∈[-2，3]时恒成立，
?-7≤a≤2x+7在x∈[-2，3]时恒成立，
而2x+7在x∈[-2，3]的最小值是3，
∴-7≤a≤3．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．