Question

7．斜率为1的直线l经过抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点，且被抛物线所截得弦AB的长为4．
（1）求实数p的值；
（2）点P是抛物线E上一点，线段CD在y轴上，△PCD的内切方程为（x-1）²+y²=1，求△PCD面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出抛物线的焦点，设出直线l的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义，可得p=1，进而得到抛物线方程；
（2）设P（x₀，y₀），C（0，c），D（0，d）不妨设c＞d，直线PC的方程为y-c=$\frac{{y}_{0}-c}{{x}_{0}}$x，由直线和圆相切的条件：d=r，化简整理，结合韦达定理，以及三角形的面积公式，运用基本不等式即可求得最小值．

解答 解：（1）抛物线的焦点为（$\frac{p}{2}$，0），直线l的方程：y=x-$\frac{p}{2}$，
与抛物线E：y²=2px联立消去y得（x-$\frac{p}{2}$）²=2px，
∴x²-3px+$\frac{{p}^{2}}{4}$=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=3p，
又|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=4，
所以，3p+p=4，p=1；
（2）设P（x₀，y₀），C（0，c），D（0，d）不妨设c＞d，
直线PC的方程为y-c=$\frac{{y}_{0}-c}{{x}_{0}}$x，
化简得（y₀-c）x-x₀y+x₀c=0，又圆心（1，0）到直线PC的距离为1，
故$\frac{|{y}_{0}-c+{x}_{0}c|}{\sqrt{（{y}_{0}-c）^{2}+{{x}_{0}}^{2}}}$=1，即（y₀-c）²+x₀²=（y₀-c）²+2x₀c（y₀-c）+x₀²c²，
不难发现x₀＞2，上式又可化为（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0，
同理有（x₀-2）d²+2y₀d-x₀=0，
所以c，d可以看做关于t的一元二次方程（x₀-2）t²+2y₀t-x₀=0的两个实数根，
则c+d=-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，cd=-$\frac{{x}_{0}}{{x}_{0}-2}$
因为点P（x₀，y₀）是抛物线Γ上的动点，所以y₀²=2x₀，
所以（c-d）²=（c+d）²-4cd=$\frac{4{{x}_{0}}^{2}}{（{x}_{0}-2）^{2}}$，
又x₀＞2，所以c-d=$\frac{2{x}_{0}}{{x}_{0}-2}$．
所以S_△PBC=$\frac{1}{2}$（c-d）x₀=x₀-2+$\frac{4}{{x}_{0}-2}$+4≥2×2+4=8，
当且仅当x₀=4时取等号，此时y₀=±2$\sqrt{2}$，
所以△PBC面积的最小值为8，此时P（4，±2$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法和方程的运用，同时考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，直线和圆相切的条件：d=r，以及基本不等式的运用，属于中档题．