Question

19．若曲线y=$\sqrt{4x-{x}^{2}}$与直线y=$\frac{3}{4}$x+b有公共点，则b的取值范围是-3≤b≤1．

Answer 1

分析 曲线y=$\sqrt{4x-{x}^{2}}$即（x-2）²+y²=4（y≥0），表示以A（2，0）为圆心，以2为半径的一个半圆，由圆心到直线y=$\frac{3}{4}$x+b的距离等于半径2，解得b．当直线过点（4，0）时，b=-3，可得b的范围．

解答 解：曲线y=$\sqrt{4x-{x}^{2}}$即（x-2）²+y²=4（y≥0），表示以A（2，0）为圆心，以2为半径的一个半圆，
由圆心到直线y=$\frac{3}{4}$x+b的距离等于半径2，可得$\frac{|\frac{3}{2}+b|}{\sqrt{\frac{9}{16}+1}}$=2，
∴b=1，或b=-2．
当直线过点（4，0）时，b=-3，
∵曲线y=$\sqrt{4x-{x}^{2}}$与直线y=$\frac{3}{4}$x+b有公共点，
∴可得-3≤b≤1．
故答案为：-3≤b≤1．

点评 本题的考点是直线与圆的位置关系，主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．